${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^5\theta cos\theta d\theta$ এর মান কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত যোগজটি হলো:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5\theta \cos\theta d\theta\)

এই যোগজটি সমাধান করার জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method) ব্যবহার করব।

ধরি, \(u = \sin\theta\)

এখন, \(u\) এর সাপেক্ষে \(\theta\) কে অন্তরীকরণ (differentiate) করলে পাই:

\(\frac{du}{d\theta} = \cos\theta\)

সুতরাং, \(du = \cos\theta d\theta\)

এবার আমরা যোগজের সীমা পরিবর্তন করব:

    
• যখন \(\theta = 0\), তখন \(u = \sin(0) = 0\)
    
• যখন \(\theta = \frac{\pi}{2}\), তখন \(u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\)

নতুন পরিবর্তনকৃত সীমা এবং চলক (variable) ব্যবহার করে যোগজটিকে পুনরায় লিখলে পাই:

\(\int_{0}^{1} u^5 du\)

এখন, \(u^5\) কে \(u\) এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ (integrate) করলে পাই:

\(\left[ \frac{u^{5+1}}{5+1} \right]_{0}^{1}\)

\(= \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{0}^{1}\)

এখন, আমরা উপরের এবং নিচের সীমা প্রয়োগ করব:

\(= \frac{(1)^6}{6} - \frac{(0)^6}{6}\)

\(= \frac{1}{6} - 0\)

\(= \frac{1}{6}\)

সুতরাং, প্রদত্ত যোগজের মান \(\frac{1}{6}\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি যোগজটি \(\int f(x)^n f'(x) dx\) আকারের হয়, তবে এর উত্তর হবে \(\frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C\)।

এখানে, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5\theta \cos\theta d\theta\)

এখানে \(f(\theta) = \sin\theta\) এবং \(f'(\theta) = \cos\theta\)।

অতএব, সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\(\left[ \frac{\sin^{5+1}\theta}{5+1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

\(= \left[ \frac{\sin^6\theta}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

সীমা প্রয়োগ করে:

\(= \frac{\sin^6(\frac{\pi}{2})}{6} - \frac{\sin^6(0)}{6}\)

\(= \frac{(1)^6}{6} - \frac{(0)^6}{6}\)

\(= \frac{1}{6} - 0\)

\(= \frac{1}{6}\)